Capítulo 27 Regressão

A regressão é uma técnica estatística usada para estudar a relação entre uma variável de interesse (chamada de variável dependente ou resposta) e uma ou mais variáveis que podem influenciá-la (chamadas de variáveis independentes ou preditoras). O objetivo principal é prever ou explicar o comportamento da variável resposta a partir das informações das variáveis preditoras.

Regressão Linear Simples:
É o tipo mais básico de regressão, analisando a relação entre duas variáveis: uma resposta (por exemplo, peso) e uma preditora (por exemplo, altura). A relação é representada por uma linha reta:
\[ \text{Resposta} = a + b \times \text{Preditora} \]
Exemplo: Prever o peso de uma pessoa a partir de sua altura. O modelo estima qual seria o peso esperado para cada altura.

Regressão Linear Múltipla:
Quando queremos analisar o efeito de duas ou mais variáveis preditoras sobre a variável resposta, usamos a regressão linear múltipla. A equação fica:
\[ \text{Resposta} = a + b_1 \times \text{Preditora}_1 + b_2 \times \text{Preditora}_2 + \ldots \]
Exemplo: Prever o preço de uma casa considerando área, número de quartos e localização.

Regressão Logística:
É usada quando a resposta é categórica, por exemplo: sim/não, doente/sadio, aprovado/reprovado. Em vez de prever um número, ela estima a probabilidade de um determinado evento ocorrer. Exemplo: Prever a chance de um paciente ter uma certa doença com base em exames. O resultado é sempre um valor entre 0 e 1 (uma probabilidade).

Outros Modelos de Regressão:
Além dos modelos acima, existem outros tipos de regressão para diferentes situações, como:
- Regressão de Poisson: para contagem de eventos (exemplo: número de acidentes por mês); - Regressão de Prais-Winsten: utilizada em séries temporais, especialmente quando os dados têm dependência ao longo do tempo (como dados econômicos mensais); - Regressão polinomial: ajusta curvas em vez de retas, para relações não-lineares; - Regressão robusta, Ridge, Lasso: abordam problemas específicos como dados com valores extremos ou quando há muitas variáveis preditoras.

Em resumo, a regressão é uma ferramenta poderosa e versátil, útil em diferentes áreas como saúde, economia, educação e ciências sociais. Ela nos ajuda a compreender relações, prever resultados e tomar decisões baseadas em dados, mesmo sem precisar de conhecimentos avançados em matemática.

27.1 Regressão Linear Simples

A correlação responde à pergunta: “Existe relação linear? Qual a força e o sentido dessa relação?”

A regressão linear simples vai além: além de indicar se existe relação, ela fornece uma equação que quantifica e permite prever uma variável a partir da outra.
A equação tem a forma:

\[ Y = a + bX \]

onde: - Y: variável resposta (dependente) - X: variável explicativa (independente) - a: intercepto (valor esperado de Y quando X = 0) - b: inclinação (quanto Y varia, em média, a cada unidade de X)

A regressão responde à pergunta: “Como prever Y a partir de X?”

É comum estudar primeiro a correlação, pois ela mostra se vale a pena tentar ajustar um modelo de regressão linear.

27.1.1 Regressão Linear Simples no R

Como exemplo, vamos estudar a relação entre a frequência cardíaca (x, em batimentos por minuto - bpm) e o comprimento do intervalo QT (y, em milissegundos) de um eletrocardiograma (ECG). O intervalo QT representa o tempo que o coração leva para se despolarizar e repolarizar, sendo um importante marcador clínico.

Vamos considerar a seguinte amostra:

# Frequência cardíaca (bpm)
x <- c(60,75,62,68,84,97,66,65,86,78,93,75,88)
# Intervalo QT (ms)
y <- c(403,363,381,367,341,317,401,384,342,377,329,377,349)

Vamos, primeiro, verificar o comportamento das variáveis pelo gráfio de dispersão:

plot(x, y, 
     xlab = "Frequência Cardíaca (bpm)", 
     ylab = "Intervalo QT (ms)", 
     pch = 19, col = "blue")
grid()

O teste de correlação nos fornece:

# antes, verifique a normalidade das variáveis 
cor.test(x, y) # Teste estatístico da correlação
## 
##  Pearson's product-moment correlation
## 
## data:  x and y
## t = -8.2944, df = 11, p-value = 4.625e-06
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.9787673 -0.7730054
## sample estimates:
##        cor 
## -0.9285203
  • Coeficiente de correlação (r): -0,93
  • Valor de t: -8,29
  • Graus de liberdade (df): 11
  • Valor-p: 0,0000046
  • Intervalo de confiança (95%): de -0,98 a -0,77

O que isso significa?

  • Força e direção: O coeficiente de correlação de Pearson (r = -0,93) indica uma correlação negativa muito forte entre as variáveis x e y. Isso significa que, à medida que uma variável aumenta, a outra tende a diminuir de forma bastante consistente.
  • Significância estatística: O valor-p (p < 0,001) mostra que essa correlação é estatisticamente significativa. Ou seja, é extremamente improvável que essa relação forte e negativa tenha ocorrido por acaso.
  • Intervalo de confiança: O intervalo de -0,98 a -0,77 indica que, com 95% de confiança, a verdadeira correlação na população está dentro desse intervalo — sempre indicando uma relação negativa forte.
  • Hipótese nula: Como o valor-p é muito pequeno, rejeitamos a hipótese nula de que não existe correlação linear entre x e y.

Como há uma correlação linear forte e significativa, faz sentido estudar um modelo de regressão linear para quantificar e prever a relação entre essas variáveis.

Para ajustarmos um modelo onde o intervalo QT é explicado pela frequência cardíaca no R, usamos a função lm(), onde lm significa linear model.

regressao <- lm(y ~ x)
regressao
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)            x  
##     520.668       -2.044

O modelo ajustado de regressão linear simples foi:

\[ \text{Intervalo QT} = 520,67 - 2,04 \times \text{Frequência Cardíaca} \]

Interpretação dos coeficientes:

  • Intercepto (520,67):
    Este valor representa a estimativa do intervalo QT (em milissegundos) quando a frequência cardíaca (x) é zero. Embora uma frequência cardíaca de zero não faça sentido fisiológico, o intercepto é necessário para construir a reta de regressão e serve como referência matemática.

  • Inclinação (-2,04):
    Esse coeficiente indica que, para cada aumento de 1 batimento por minuto (bpm) na frequência cardíaca, o intervalo QT diminui, em média, cerca de 2,04 milissegundos.
    Ou seja, existe uma relação negativa: quanto maior a frequência cardíaca, menor tende a ser o intervalo QT.

O resumo da regressão é obtido a partir da função summary()

summary(regressao)
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -14.689  -5.418  -2.900   8.188  15.750 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 520.6683    19.1158  27.238 1.90e-11 ***
## x            -2.0438     0.2464  -8.294 4.63e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 10.38 on 11 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8622, Adjusted R-squared:  0.8496 
## F-statistic:  68.8 on 1 and 11 DF,  p-value: 4.625e-06

  • Valor-p para ambos os coeficientes (p < 0,001): Os dois coeficientes são significativos, ou seja, existe evidência estatística muito forte de que ambos são diferentes de zero.

  • R² (Multiple R-squared): 0,86: Aproximadamente 86% da variação do intervalo QT é explicada pela frequência cardíaca. É um valor alto, indicando que o modelo ajusta bem os dados.

  • R² Ajustado (0,85): Leva em conta o número de variáveis e tamanho da amostra, e também é alto.

  • Erro padrão residual (Residual standard error: 10,38): Mede o desvio médio dos pontos em relação à reta ajustada (quanto menor, melhor).

  • Resíduos: Representam a diferença entre os valores observados e os previstos pelo modelo. Os valores mínimos e máximos indicam a dispersão dos erros.

  • F-statistic: 68,8, p-value: 4,6e-06: Teste global do modelo, confirma que a relação encontrada é altamente significativa.

O modelo de regressão linear simples mostra que existe uma forte relação linear negativa e estatisticamente significativa entre a frequência cardíaca e o intervalo QT: quanto maior a frequência cardíaca, menor tende a ser o intervalo QT. O modelo explica a maior parte da variação dos dados, sendo útil para previsões e interpretações clínicas dessa relação.

O intervalos de confiança para os coeficientes da reta é dado por:

confint(regressao)
##                  2.5 %     97.5 %
## (Intercept) 478.594702 562.741896
## x            -2.586164  -1.501475

  • Intercepto (a):
    O intervalo de confiança de 95% para o intercepto vai de 478,59 a 562,74. Isso significa que, com 95% de confiança, o verdadeiro valor do intercepto está dentro desse intervalo. O intercepto representa o valor estimado do intervalo QT quando a frequência cardíaca é zero (valor teórico/matemático).

  • Inclinação (b):
    O intervalo de confiança de 95% para a inclinação vai de -2,59 a -1,50. Como o intervalo é totalmente negativo, reforça que a relação entre frequência cardíaca e intervalo QT é negativa: a cada aumento de 1 bpm na frequência cardíaca, o intervalo QT diminui, em média, entre 1,50 e 2,59 ms.

Limitações e Cuidados na Regressão Linear

Apesar do modelo indicar uma associação significativa, é importante considerar algumas limitações e pontos de atenção:

  • Extrapolação: O modelo é válido apenas para a faixa de dados observados. Prever valores de QT para frequências cardíacas muito fora do intervalo observado pode gerar resultados sem sentido.
  • Suposições do modelo:
    • Linearidade: A relação entre as variáveis deve ser aproximadamente linear.
    • Normalidade dos resíduos: Os resíduos (erros) devem ser aproximadamente distribuídos normalmente.
    • Homoscedasticidade: A variância dos resíduos deve ser constante ao longo dos valores previstos.
    • Independência: As observações devem ser independentes entre si. Recomenda-se sempre checar essas suposições usando gráficos de resíduos e testes estatísticos.
  • Possíveis valores extremos (outliers): Valores muito diferentes dos demais podem influenciar fortemente o ajuste, distorcendo os resultados.
  • Correlação não implica causalidade: A regressão mostra associação, mas não garante que uma variável causa a outra.

27.1.2 O que deve ser checado ao ajustar uma regressão linear?

  • Gráfico de resíduos: Para avaliar linearidade, homoscedasticidade e detectar outliers.
  • Histograma/QQ-plot dos resíduos: Para verificar a normalidade dos resíduos.
  • Verificar influências: Avaliar se algum ponto influencia demais o resultado (diagnóstico de outliers/influência).
  • Intervalos de confiança: Analisar a precisão das estimativas dos parâmetros.
  • R² e R² ajustado: Avaliar o quanto do comportamento da variável resposta é explicado pelo modelo.

27.2 Regressão Linear Múltipla

Depois de entender a regressão linear simples, é fácil expandir para a regressão linear múltipla, onde podemos incluir mais de uma variável preditora para explicar a variável resposta. No nosso exemplo, além da frequência cardíaca (x), vamos acrescentar a idade dos indivíduos (z), que também pode influenciar o intervalo QT do eletrocardiograma (y).

Vamos supor os seguintes valores de idade para os mesmos indivíduos:

# Frequência cardíaca (bpm)
x <- c(60,75,62,68,84,97,66,65,86,78,93,75,88)
# Intervalo QT (ms)
y <- c(403,363,381,367,341,317,401,384,342,377,329,377,349)
# Idade (anos) - exemplo hipotético
z <- c(25,40,30,22,53,60,28,27,50,35,59,41,55)

Vamos ajustar agora um modelo que considera tanto a frequência cardíaca quanto a idade como preditoras do intervalo QT:

  • O modelo ajustado tem a forma: \[ \text{QT} = a + b_1 \times \text{Frequência Cardíaca (x)} + b_2 \times \text{Idade (z)} \]
regressao_multipla <- lm(y ~ x + z)
summary(regressao_multipla)
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x + z)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -16.055  -5.737  -2.952   8.566  15.082 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 514.3929    37.2473  13.810 7.72e-08 ***
## x            -1.8827     0.8466  -2.224   0.0504 .  
## z            -0.1505     0.7534  -0.200   0.8457    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 10.87 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8627, Adjusted R-squared:  0.8352 
## F-statistic: 31.42 on 2 and 10 DF,  p-value: 4.88e-05

Modelo ajustado:
\[ \text{QT} = 514,39 - 1,88 \times \text{Frequência Cardíaca (x)} - 0,15 \times \text{Idade (z)} \]

  • Intercepto (514,39):
    Valor estimado do QT quando frequência cardíaca e idade são zero (valor teórico, apenas referência matemática).

  • Frequência Cardíaca (x):
    O coeficiente é -1,88, ou seja, para cada aumento de 1 bpm, o QT diminui em média 1,88 ms, mantendo a idade constante.
    O valor-p (0,0504) é limítrofe, indicando que a influência da frequência cardíaca sobre o QT ainda é significativa, mas no limite do nível de significância tradicional (5%).

  • Idade (z):
    O coeficiente é -0,15, ou seja, para cada aumento de 1 ano de idade, o QT diminui, em média, 0,15 ms, mantendo a frequência cardíaca constante.
    No entanto, o valor-p (0,8457) mostra que essa associação não é estatisticamente significativa — ou seja, não há evidência de que a idade tenha efeito relevante sobre o QT neste conjunto de dados.

Qualidade do ajuste

  • R² (0,86):
    Aproximadamente 86% da variação do QT é explicada pelo modelo com as duas variáveis preditoras, indicando bom ajuste.
  • R² ajustado (0,83):
    Leva em conta o número de variáveis, também indicando bom ajuste.
  • Erro padrão residual (10,87):
    Média dos desvios dos pontos em relação à reta ajustada, semelhante ao modelo simples.

Análise dos resíduos

  • A distribuição dos resíduos sugere que o modelo está adequado, mas sempre é recomendado visualizar os gráficos de resíduos para avaliar possíveis violações das suposições.

Teste F

  • F-statistic: 31,42, p-value: 4,88e-05:
    O modelo como um todo é altamente significativo, ou seja, pelo menos uma das variáveis preditoras está relacionada ao QT.

Conclusão

  • O modelo de regressão múltipla mostra que, mantendo a idade constante, a frequência cardíaca segue sendo um preditor importante e significativo para o intervalo QT.
  • A idade, por outro lado, não contribuiu de forma significativa para explicar o QT nesse exemplo.
  • O ajuste da regressão múltipla no R é simples e a interpretação amplia a compreensão das relações entre várias variáveis e a resposta.
  • Importante: Sempre verifique as suposições do modelo e a significância de cada preditor.

27.3 No R é fácil

A sintaxe para ajustar a regressão múltipla é muito parecida com a da simples, basta acrescentar as variáveis ao modelo:

lm(y ~ x + z, data = dados)

Se quiser incluir ainda mais variáveis, basta adicioná-las na fórmula, separadas por +.

Visualização dos resíduos

É importante, como sempre, checar os resíduos para garantir que as suposições do modelo continuam válidas:

plot(regressao_multipla)

Resíduos vs Valores Ajustados

  • Objetivo: Avaliar linearidade e homocedasticidade (variância constante dos resíduos).
  • Interpretação: Os resíduos estão distribuídos de forma aproximadamente aleatória ao redor de zero, sem padrões claros. Isso sugere que a relação linear é adequada e que a variância dos resíduos é razoavelmente constante. Não há grandes evidências de problemas de ajuste, ainda que um ou outro ponto se afaste mais do centro (possíveis outliers).

Q-Q Plot dos Resíduos

  • Objetivo: Verificar se os resíduos seguem uma distribuição normal (suposição importante para testes de hipóteses na regressão).
  • Interpretação: Os pontos seguem bem a linha reta, indicando que a normalidade dos resíduos é atendida na maior parte dos casos. Pequenos desvios nas extremidades são toleráveis, especialmente com amostras pequenas, como neste exemplo.

Scale-Location (Homocedasticidade)

  • Objetivo: Avaliar se a variância dos resíduos é constante para todos os valores ajustados (homocedasticidade).
  • Interpretação: Os pontos estão relativamente dispersos de forma homogênea ao longo do eixo dos valores ajustados, sem formar um funil ou padrão crescente/decrescente marcante. Isso reforça que a suposição de homocedasticidade está sendo atendida.

Resíduos Padronizados vs Leverage

  • Objetivo: Identificar pontos com alto potencial de influência no modelo (outliers ou observações influentes).
  • Interpretação: A maioria dos pontos está dentro dos limites aceitáveis de leverage e resíduos. Apenas um ou dois pontos apresentam valores de leverage mais altos, mas sem exceder drasticamente os limites de distância de Cook. Isso sugere que não há observações extremamente influentes comprometendo o modelo.

Os diagnósticos gráficos indicam que: - As suposições do modelo de regressão múltipla estão razoavelmente bem atendidas: linearidade, normalidade dos resíduos, homocedasticidade e ausência de pontos influentes extremos. - O modelo é adequado para os dados analisados, com apenas leves indícios de possíveis outliers, mas sem comprometer as conclusões.

27.4 Exercício

O exercício “nutrientes em cereais matinais” foi retirado do livro Estatística Básica de Larson & Farber.

A U.S. Food and Drug Administration (FDA) exige a rotulagem nutricional para a maioria dos alimentos. Sob os regulamentos da FDA, os produtores são obrigados a listar as quantidades de certos nutrientes em seus alimentos, tais como: calorias, açúcar, gordura e carboidratos. Essa informação nutricional é exibida em uma tabela na embalagem do alimento.

A Tabela mostra o teor nutricional para uma xícara de 21 cereais matinais diferentes.

C = calorias
S = açúcar em gramas
F = gordura em gramas
R = carboidratos em gramas

C S F R
100 12 0.5 25
130 11 1.5 29
110 10 1.0 29
130 15 2.0 31
130 13 1.5 29
120 3 0.5 26
100 2 0.0 24
120 0 0.0 29
150 16 1.5 31
110 4 0.0 25
110 12 1.0 23
160 15 1.5 35
150 12 2.0 36
150 15 1.5 29
110 15 0.0 29
190 13 1.5 45
100 3 0.0 23
120 4 0.5 23
120 11 1.5 28
120 11 1.0 29
130 5 0.5 29

1. Use o R para obter um diagrama de dispersão dos seguintes pares \((x, y)\) no conjunto de dados.

  1. (Calorias, açúcar.)
  2. (Calorias, gordura.)
  3. (Calorias, carboidratos.)
  4. (Açúcar, gordura.)
  5. (Açúcar, carboidratos.)
  6. (Gordura, carboidratos.)

2. Dos diagramas de dispersão no Exercício 1, quais pares de variáveis parecem ter uma correlação linear forte?

3. Use o R para encontrar o coeficiente de correlação para cada par de variáveis no Exercício 1. Qual tem a correlação linear mais forte?

4. Use tecnologia para encontrar a equação de uma reta de regressão para os seguintes pares de variáveis.

  1. (Calorias, açúcar.)
  2. (Calorias, carboidratos.)

5. Use os resultados do Exercício 4 para prever o seguinte:

  1. O teor de açúcar de uma xícara de cereal que tem 120 calorias.
  2. O teor de carboidrato de uma xícara de cereal que tem 120 calorias.

6. Use tecnologia para encontrar as equações de regressão múltipla dos seguintes modelos:

  1. \(C = b + m_1S + m_2F + m_3R\)
  2. \(C = b + m_1S + m_2R\)

7. Use as equações do Exercício 6 para prever as calorias em 1 xícara de cereal que tem 7 gramas de açúcar; 0,5 grama de gordura e 31 gramas de carboidratos.